nombres premiers

Mathématiques

2022

Nous expliquons ce que sont les nombres premiers, leur histoire et quelles sont leurs utilisations et applications. Aussi, les différences avec les nombres composés.

Les nombres premiers ne peuvent pas être décomposés exactement en nombres plus petits.

Que sont les nombres premiers ?

Dans matematiques, les nombres premiers sont l'ensemble des nombres naturels supérieur à 1, qui ne peut être divisé que par 1 et eux-mêmes. Autrement dit, ce sont des nombres qui ne peuvent pas être décomposés exactement en chiffres plus petits, et en cela ils diffèrent du reste des nombres naturels (c'est-à-dire des nombres composés). Cette condition est connue sous le nom de primauté.

Par exemple, 3 est un nombre premier, car il ne peut être divisé qu'entre 1 et 3, tandis que 4 peut être divisé par 2. Quelque chose de similaire se produit avec 7, un nombre premier, mais pas avec 8, divisible par 2 et quatre.

La liste des nombres premiers est infinie et semble soumise aux lois de probabilité, c'est-à-dire que sa fréquence d'apparition ne suit pas de règles strictes et régulières.

C'est pourquoi les nombres premiers ont fait l'objet d'études depuis l'Antiquité par des mathématiciens et des penseurs, dont beaucoup ont pensé trouver une sorte de révélation ou de message divin dans les lois de leur distribution. En fait, certains des problèmes mathématiques les plus difficiles à résoudre concernent les nombres premiers, comme l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach.

histoire des nombres premiers

Euclide a été le premier à faire une étude formelle des nombres premiers.

L'étude des nombres premiers remonte à l'Antiquité. Des preuves de leur connaissance ont été trouvées dans des civilisations bien avant l'apparition de la l'écriture, il y a environ 20 000 ans, ainsi que sur des tablettes d'argile de l'ancienne Mésopotamie. Les Babyloniens et les Égyptiens ont développé un puissant connaissances mathématique dans laquelle les nombres premiers étaient envisagés.

Cependant, la première étude formelle des nombres premiers est apparue dans la Grèce antique vers 300 av. C., et c'est le Articles d'Euclide (dans ses volumes de VII à IX). À peu près à la même époque, le premier algorithme utile pour trouver des nombres premiers est apparu, connu sous le nom de crible d'Eratosthène.

Il faudra cependant attendre le XVIIe siècle pour que ces études redeviennent pertinentes en Occident : le juriste et mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665), par exemple, établit en 1640 son Théorème de Fermat, et le moine français Marin Mersenne (1588-1648) s'est consacré aux nombres premiers de la forme 2p – 1, c'est pourquoi on les appelle aujourd'hui « nombres de Mersenne ».

Grâce à ces études, ajoutées à celles de Leonhard Euler, Bernhard Riemann, Adrien-Marie Legendre, Carl Friedrich Gauss et d'autres mathématiciens européens, les premières méthodes modernes de recherche des nombres premiers sont apparues au XIXe siècle, précurseurs de celles appliquées aujourd'hui. des ordinateurs scientifique.

Usages et applications des nombres premiers

Les nombres premiers ont les applications et utilisations suivantes :

  • Dans le domaine des études numériques et mathématiques, les nombres premiers sont utilisés pour l'étude des nombres complexes, à travers le concept de « nombres premiers relatifs ». Ils sont également utilisés dans la formulation des "corps finis" et dans la géométrie des polygones en étoile de n
  • Dans l'informatique, les nombres premiers sont utilisés pour la formulation des clés au moyen de algorithmes calcul.

Tableau des nombres premiers

Entre le nombre 2 et le nombre 1013 il y a 168 nombres premiers, qui sont :

2 3 5 7 11 13 17
19 23 29 31 37 41 43
47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97 101 103 107
109 113 127 131 137 139 149
151 157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223 227
229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307
311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389
397 401 409 419 421 431 433
439 457 461 463 467 479 487
491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587
593 599 601 607 613 617 619
631 641 643 647 653 659 661
673 677 683 691 701 709 719
727 733 739 743 751 757 761
769 773 787 797 809 811 821
823 827 829 839 853 857 859
863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967
971 977 983 991 997 1009 1013

Différence entre les nombres premiers et les nombres composés

Comme son nom l'indique, les nombres composés sont constitués de deux autres nombres de manière symétrique et parfaite. Par conséquent, les nombres composés peuvent être divisés par d'autres nombres plus petits et obtenir des résultats exacts. Les nombres premiers, en revanche, ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes, ils ne sont donc pas vraiment "composés" d'autres nombres, mais constituent plutôt une singularité en eux-mêmes.

Ainsi, par exemple, le nombre 16 est composé de 8 (16 divisé par 2), 4 (16 divisé par 4) et 2 (16 divisé par 8), alors que le nombre 13 n'est composé d'aucun autre nombre, puisque peut être seulement divisé par 1 et lui-même.

Numéro 1

Le nombre 1 est un cas exceptionnel en mathématiques, puisqu'il n'est aujourd'hui considéré ni comme un nombre premier ni comme un nombre composé. Jusqu'au XIXe siècle, on pensait qu'il s'agissait d'un nombre premier, même s'il ne partageait pas la plupart des propriétés des nombres premiers, comme la fonction d'Euler ou la fonction de diviseur. La tendance actuelle, en ce sens, est d'exclure 1 de la liste des nombres premiers.

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