• Qu'est-ce qu'un système de numération ?
• Systèmes de nombres non positionnels
• Systèmes de nombres semi-positionnels
• Systèmes de numérotation positionnelle

Nous expliquons ce qu'est un système de numérotation et nous étudions les caractéristiques de chaque type de système, à travers des exemples issus de différentes cultures.

Chaque système numérique contient un certain ensemble fini de symboles.

Qu'est-ce qu'un système de numération ?

Un système numérique est un ensemble de symboles et de règles permettant d'exprimer le nombre d'objets dans un nombre. Positionner, c'est-à-dire par lequel tous les nombres valides peuvent être représentés. Cela signifie que chaque système numérique contient un ensemble donné et fini de symboles, plus un ensemble donné et fini de règles permettant de les combiner.

Les systèmes de numérotation étaient l'une des principales inventions humaines dans l'Antiquité, et chacune des civilisations antiques avait son propre système, lié à sa façon de voir le monde, c'est-à-dire à sa culture.

D'une manière générale, les systèmes de numérotation peuvent être classés en trois types différents :

• systèmes non positionnels. Ce sont ceux dans lesquels chaque symbole correspond à une valeur fixe, quelle que soit la position qu'il occupe dans le nombre (s'il apparaît en premier, à côté ou après).
• Systèmes semi-positionnels. Ce sont ceux dans lesquels la valeur d'un symbole a tendance à être fixe, mais peut être modifiée dans des situations particulières d'apparition (bien qu'elles aient tendance à être plutôt des exceptions). Il est compris comme un système intermédiaire entre le positionnel et le non positionnel.
• Systèmes positionnels ou pondérés.Ce sont ceux dans lesquels la valeur d'un symbole est déterminée à la fois par sa propre expression et par la place qu'il occupe dans le nombre, pouvant valoir plus ou moins ou exprimer des valeurs différentes selon l'endroit où il se trouve.

Il est également possible de classer les systèmes de numérotation en fonction du nombre qu'ils utilisent comme base de leurs calculs. Ainsi, par exemple, le système occidental actuel est décimal (puisque sa base est 10), tandis que le système de numération sumérien était sexagésimal (sa base était 60).

Systèmes de nombres non positionnels

Les systèmes non positionnels étaient faciles à apprendre mais nécessitaient de nombreux symboles.

Les systèmes de nombres non positionnels ont été les premiers à exister et avaient les bases les plus primitives : les doigts, les nœuds sur une corde ou d'autres méthodes d'enregistrement pour coordonner les ensembles de nombres. Par exemple, si vous comptez sur les doigts d'une main, vous pouvez compter sur des mains entières.

Dans ces systèmes, les chiffres ont leur propre valeur, quel que soit leur emplacement dans la chaîne de symboles, et pour former de nouveaux symboles, les valeurs des symboles doivent être ajoutées (pour cette raison, ils sont également appelés systèmes additifs). Ces systèmes étaient simples, faciles à apprendre, mais nécessitaient de nombreux symboles pour exprimer de grandes quantités, ils n'étaient donc pas entièrement efficaces.

Voici des exemples de ces types de systèmes :

• Le système numérique égyptien. Émergé vers le troisième millénaire av. C., était basé sur les dix et utilisé hiéroglyphes différent pour chaque ordre d'unités : un pour l'unité, un pour la dizaine, un pour la centaine et ainsi de suite jusqu'au million.
• Le système de numération aztèque. Typique de l'empire mexicain, il avait 20 comme base et utilisait des objets spécifiques comme symboles : un drapeau valait 20 unités, une plume ou quelques cheveux valait 400, un sac ou un sac valait 8 000, entre autres.
• Le système numérique grec.Plus précisément la mer Ionienne, a été inventée et diffusée en Méditerranée orientale à partir du IVe siècle av. C., remplaçant le système acrophonique préexistant. C'était un système alphabétique, qui utilisait des lettres pour signifier des nombres, faisant correspondre la lettre avec sa place cardinale dans l'alphabet (A=1, B=2). Ainsi, chaque nombre de 1 à 9 se voyait attribuer une lettre, chaque dix une autre lettre spécifique, chaque cent une autre, jusqu'à ce que 27 lettres soient utilisées : les 24 de l'alphabet grec et trois caractères spéciaux.

Systèmes de nombres semi-positionnels

Les systèmes semi-positionnels répondaient aux besoins d'une économie plus développée.

Les systèmes de nombres semi-positionnels combinent la notion de valeur fixe de chaque symbole avec certaines règles de positionnement, de sorte qu'ils peuvent être compris comme un système hybride ou mixte entre positionnel et non positionnel. Ils bénéficient de facilités pour représenter de grands nombres, gérant l'ordre des nombres et des procédures formelles telles que la multiplication, ils représentent donc un pas en avant dans la complexité par rapport aux systèmes non positionnels.

Dans une large mesure, l'émergence des systèmes semi-positionnels peut être comprise comme la transition vers un modèle de numérotation plus efficace qui pourrait satisfaire les besoins plus complexes d'une économie plus développée, comme celle des grands empires de l'Antiquité classique.

Voici des exemples de ce modèle de numérotation :

• Le système de numération romaine. Créé dans l'Antiquité romaine, il survit jusqu'à nos jours. Dans ce système, les chiffres étaient construits à l'aide de certaines lettres majuscules de l'alphabet latin (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, etc.), dont la valeur était fixée et fonctionnait par addition et soustraction, en fonction de où le symbole apparaît.Si le symbole était à gauche d'un symbole de valeur égale ou inférieure (comme dans II = 2 ou XI = 11), les valeurs totales doivent être ajoutées ; tandis que si le symbole était à gauche d'un symbole de valeur plus élevée (comme dans IX = 9 ou IV = 4), ils devaient être soustraits.
• Le système numérique chinois classique. Ses origines remontent à environ 1500 av. C. et est un système très strict de représentation verticale des nombres à travers leurs propres symboles, combinant deux systèmes différents : un pour l'écriture familière et quotidienne, et un autre pour les documents commerciaux ou financiers. C'était un système décimal qui avait neuf signes différents qui pouvaient être placés les uns à côté des autres pour ajouter leurs valeurs, en insérant parfois un signe spécial ou en alternant l'emplacement des signes pour indiquer une opération spécifique.

Systèmes de numérotation positionnelle

Le système de numérotation actuel provient du système hindou-arabe.

Les systèmes de numération positionnels sont les plus complexes et les plus efficaces des trois types de système de numération qui existent. La combinaison de la valeur propre des symboles et de la valeur attribuée par leur position leur permet de construire des chiffres très élevés avec très peu de caractères, en ajoutant et/ou en multipliant la valeur de chacun, ce qui en fait des systèmes plus polyvalents et modernes.

Généralement, les systèmes positionnels utilisent un ensemble fixe de symboles et par leur combinaison, le reste des figures possibles est produit, à l'infini, sans qu'il soit nécessaire de créer de nouveaux signes, mais plutôt en inaugurant de nouvelles colonnes de symboles. Bien sûr, cela implique qu'une erreur dans la chaîne modifie également la valeur totale du nombre.

Les premiers exemples de systèmes de ce type sont apparus au sein des grands empires ou des cultures antiques les plus exigeantes en matière culturelle et commerciale, comme l'Empire babylonien du IIe millénaire av. C. Des exemples de ce type de système de numérotation sont :

• Le système décimal moderne.Avec seulement les chiffres de 0 à 9, il vous permet de construire n'importe quel nombre possible, en ajoutant des colonnes dont la valeur s'ajoute au fur et à mesure que vous vous déplacez vers la droite, en ayant la dizaine comme base. Ainsi, en ajoutant des symboles à 1, nous pouvons construire 10, 195, 1958 ou 19589. Il est important de préciser que les symboles utilisés proviennent de chiffres hindous-arabes.
• Le système de numération hindou-arabe. Inventé par les anciens sages de l'Inde et hérité plus tard par les Arabes musulmans, il a atteint l'Occident par Al-Andalus et a fini par remplacer le chiffres romains traditionnel. Dans ce système, similaire au décimal moderne, les unités de 0 à 9 sont représentées par des glyphes spécifiques, qui représentaient la valeur de chacune au moyen de lignes et d'angles. Le système de fonctionnement de ce système est fondamentalement le même que le système décimal occidental moderne.
• Le système numérique maya. Il a été créé pour mesurer le temps, au lieu de faire des transactions mathématiques, et sa base était vigésimale et ses symboles correspondent au calendrier de cette civilisation précolombienne. Les figures, regroupées 20 par 20, sont représentées par des signes de base (rayures, points et escargots ou coquillages) ; et pour passer à la partition suivante, un point est ajouté au niveau d'écriture suivant. De plus, le Mayas ils ont été parmi les premiers à utiliser le chiffre zéro.